La nature présente intrinsèquement un comportement non-linéaire, c'est-à-dire que la réponse des systèmes à une excitation est naturellement non proportionnelle à celle-ci. On parle de système linéaire dans les cas où l'excitation est faible et les conditions favorables à la faible présence d'effet non-linéaire.
Ici, on parlera uniquement des Systèmes intégrables.

Définitions

\(\triangleright\) Définition de la non-linéairité

La non-linéarité d'un système désigne sa capacité à répondre de manière non proportionnelle à une excitation donnée.
Le système \(S\) subit une excitation \(\vec e\), sa réponse peut-être par exemples:
$$\begin{align}&S.\vec e=\lambda |\vec e|^n\vec e\\ &S\vec e=\lambda\sin(\vec e)+\lambda'\cos(\vec e)\\ &\lambda,\lambda'\in\Bbb C \end{align}$$

Equations typiques

Equation de Korteweg–de Vries

\(\triangleright\) Equation de Sine-Gordon

L'équation de Sine-Gordon est une équation aux dérivées partielles non-linéaires permettant de décrire une chaine de pendule reliées par une ficelle tendue.
L'équation sans dimension est la suivante :
$${{\frac{\partial ^2\Psi}{\partial t^2}-\frac{\partial \Psi^2}{\partial z^2}+\sin(\Psi)}}=0$$

\(\triangleright\) Equation de Hopf

L'équation de Hopf est l'équation décrivant les systèmes fortement non-linéaires. L'équation sans dimension est la suivante:
$${{u_t+6uu_x=0}}$$

\(\triangleright\) Equation de Burgers

L'équation de Burgers décrit les systèmes dissipatifs et non-linéaire de la forme:
$${{u_t+6uu_X+u_{xx}=0}}$$
Equation de Schrödinger (Equation non-linéaire)

Inverse scattering transform

Inverse scattering transform

Solution particulière

Soliton
&solitons